Equações cúbicas - BREVE RELATO HISTÓRICO

Cúbicas são equações do tipo a*x³ + b*x² + c*x + d = 0, os babilônios foram, pelos registros históricos, os primeiros a se preocupar com a resolução de tais equações, os gregos conseguiram os primeiros resultados mais consistentes, no entanto utilizavam  métodos geométricos, ou seja, obtinham somente raízes positivas. Um italiano de nome Scipione Del Ferro, por volta de 1510, encontrou uma forma geral para resolver equações do tipo X³ + p*X + q = 0, Tartaglia, em 1535; resolveu equações do tipo X³ + p*X + q = 0, como também deduziu a resolução para este caso, Tartaglia resolveu também equações do tipo X³ + p*X² + q = 0, a fórmula encontrada foi publicada por Girolamo Cardano, na obra “Ars Magna”, em 1545. 
          A lista de matemáticos que se preocuparam com a resolução algébrica das cúbicas é grande, dentre os mais notáveis temos: Hipócrates de Chios, Arquimedes,Omar Kayyam, Fibonacci, Viete, Rafael Bombelli, entre muitos outros.

Resolução das equações cúbicas, passo a passo

RESOLUÇÃO PASSO A PASSO,  

Passo 1 obtenção de p, q e delta:

p = c/3*a -b²/9*a²

q = b*c/6*a²-b³/27*a³-d/2*a

∆ = p³+ q²

Passo 2 análise de delta e cálculo de x₁:

Se  ∆ = 0: x₁ = 2 _* ^1/3(q) - b/3*a e

Se  ∆ > 0: x₁ = ^1/3(q + ^½(∆)) + ^1/3(q - ^½(∆)) – b/3*a

Se  ∆ < 0: x₁ = 2 _* ^1/2( |p|) _* cos[(1/3)*arccos(q/^1/2(|p³|)]– b/3*a

Passo 3 cálculo do determinante D, x₂ e x₃:

D = (b/a + x₁)² + 4*(d/(a* x₁)

x₂ = (- (b/a+x₁) - ^1/2(D)/2 

x₃ = (- (b/a+x₁) + ^1/2(D)/2  

Exemplo prático:

x³ + 6*x² + 11* x + 6 = 0

 Passo 1 obtenção de p, q e delta:

p = 11/3*1 – 6²/9*1² = -1/3 e q = 6*11/(6*1²) – 6³/(27*1³) – 6/(2*1) = 0

 ∆ = (-1/3)³ + 0² = -1/27  ∆ < 0

x₁ = 2 _* ^1/2( |p|) _* cos[(1/3)*arccos(q/^1/2(|p³|)]– b/3*a

 x₁ = 2 _* ^1/2( |-1/27|) _* cos[(1/3)*arccos(0/^1/2(|-1/27³|)]– 6/3*1 = -1

D = (6/1 + (-1))² + 4*(6/(1* (-1)) = 1

 x₂ = (- (b/a+x₁) - ^1/2(D)/2 e x₂ = (- (6/1+(-1)) - ^1/2(1)/2 = -3

x₃ = (- (b/a+x₁) + ^1/2(D)/2  e x₃ = (- (6/1+(-1)) + ^1/2(1)/2  = -2

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