sexta-feira, 31 de março de 2017

Calculadora de raízes cúbicas

Root Calculator











quinta-feira, 6 de outubro de 2016

Calculadora de raízes





Bolei uma calculadora no VBA do Excel que calcula raízes de segundo grau e cúbicas, dados os índices. No mesmo formulário pode ser também geradas as equações dado as raízes tanto reais como números complexos da forma x1 = a + bi, abaixo tem um link que direciona para o OneDrive onde está o arquivo, basta baixar e habilitar as macros.       Calculadora de raízes

quarta-feira, 5 de outubro de 2016

Equações cúbicas - BREVE RELATO HISTÓRICO


Cúbicas são equações do tipo a*x3 + b*x2 + c*x + d = 0, os babilônios foram, pelos registros históricos, os primeiros a se preocupar com a resolução de tais equações, os gregos conseguiram os primeiros resultados mais consistentes, no entanto utilizavam  métodos geométricos, ou seja, obtinham somente raízes positivas. Um italiano de nome Scipione Del Ferro, por volta de 1510, encontrou uma forma geral para resolver equações do tipo X3 + p*X + q = 0, Tartaglia, em 1535; resolveu equações do tipo X3 + p*X + q = 0, como também deduziu a resolução para este caso, Tartaglia resolveu também equações do tipo X3 + p*X2 + q = 0, a fórmula encontrada foi publicada por Girolamo Cardano, na obra “Ars Magna”, em 1545. 
          A lista de matemáticos que se preocuparam com a resolução algébrica das cúbicas é grande, dentre os mais notáveis temos: Hipócrates de Chios, Arquimedes,Omar Kayyam, Fibonacci, Viete, Rafael Bombelli, entre muitos outros.

Resolução das equações cúbicas, passo a passo

RESOLUÇÃO PASSO A PASSO,  
Passo 1 obtenção de p, q e delta:

p = c/3*a -b2/9*a2

q = b*c/6*a2-b3/27*a3-d/2*a

∆ = p3+ q2

Passo 2 análise de delta e cálculo de x1:
Se   = 0: x1 = 2 * 1/3(q) - b/3*a e
Se  ∆ > 0: x1 = 1/3(q + ½(∆)) + 1/3(q - ½(∆)) – b/3*a
Se  ∆ < 0: x1 = 2 * 1/2( |p|) * cos[(1/3)*arccos(q/1/2(|p3|)]– b/3*a
Passo 3 cálculo do determinante D, x2 e x3:
D = (b/a + x1)2 + 4*(d/(a* x1)
x2 = (- (b/a+x1) - 1/2(D)/2 
x3 = (- (b/a+x1) + 1/2(D)/2  
Exemplo prático:
x3 + 6*x2 + 11* x + 6 = 0
 Passo 1 obtenção de p, q e delta:
p = 11/3*1 – 62/9*12 = -1/3 e q = 6*11/(6*12) – 63/(27*13) – 6/(2*1) = 0
 ∆ = (-1/3)3 + 02 = -1/27  ∆ < 0
x1 = 2 * 1/2( |p|) * cos[(1/3)*arccos(q/1/2(|p3|)]– b/3*a
 x1 = 2 * 1/2( |-1/27|) * cos[(1/3)*arccos(0/1/2(|-1/273|)]– 6/3*1 = -1
D = (6/1 + (-1))2 + 4*(6/(1* (-1)) = 1
 x2 = (- (b/a+x1) - 1/2(D)/2 e x2 = (- (6/1+(-1)) - 1/2(1)/2 = -3
x3 = (- (b/a+x1) + 1/2(D)/2  e x3 = (- (6/1+(-1)) + 1/2(1)/2  = -2